图形学 线性代数基础

本篇内容均取自https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744

本篇为 1 - 3 集笔记

向量的点积

1. 如何求出单位向量 => 向量 / 向量的长度 = 单位向量

2. 在不给出说明的情况下，向量的默认的表示形式其实是竖着的

   $$ \vec{A} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} A^T = (x,y) $$$$ T是上标 转置了 $$

3. 向量的长度 = sqr(x² + y²)

4. 向量点乘得到的是一个数

   $$ \vec{a} · \vec{b} = \vec{||a||} ·\vec{||b||}· cos0 $$

5. 取得两个向量的夹角 a 的单位向量 × b的

6. 向量的点成就是两个数相乘然后加起来

闲话

向量b对于向量a的垂直 是 向量b(popu 垂直)

向量b(popu)的方向是向量a对应的方向

向量b(popu) = k * 向量a的单位向量

向量b(popu)的长度 = b的长度 * a与b的夹角余弦

k= ||向量b(popu)|| = ||向量b|| cos0

向量a和b的点积就是夹角余弦

7. 如果向量同向 那么两个向量点乘会得到大于0的值
   如果向量不同向 那么两个向量的点乘会得到小于0的值
   点乘也会可以告诉我们两个向量有多接近，越接近1就越近，1 - 0 是垂直 0 - -1相反

向量的叉积

1. $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}) $$$$ || \mathbf{a} \times \mathbf{b} || = || \mathbf{a} || \cdot || \mathbf{b} || \cdot \sin(\theta) $$

   叉乘不满足交换律，a x b 结果与 b x a相反，新向量与 a b 垂直

   如果x 叉乘 y 得到 z 那就说他是右手坐标系

   一个向量叉乘自己 = 0 长度为0的向量

2. 用于判断左和右，上和下

   向量a 叉乘 b 得到的结果z轴是正的，那么说明b在a的左侧

3. 判断某点是否在三角形内部（光栅化基础）

   AB叉乘AP 得到左侧

   BC叉乘 BP得到 P点在BC的左侧

   CA叉乘CP 得到 P点在CA的左侧

   如果是顺时针 那么就在右侧，得到0自己决定

   

4. 标准正坐标系

   $$ || \mathbf{u} || = || \mathbf{v} || = || \mathbf{w} || = 1 $$$$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 0 $$

矩阵

1. 乘以一个数就是将矩阵内的每个数都乘以这个数

2. (M x N)(N x P) = (M x P) 只有 N N相等才有意义

   第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数

   如下面，上面的矩阵乘以下面的矩阵 等于第三个矩阵

   比如结果的第二行四列，我们找到第一个矩阵的第二行，第二个矩阵的第四列 然后乘起来相加

   (5,2) * (4,3) = (20,6) = 26

1
2
3
4
5

//第一个 ? 是第一行第二列 找到 第一行 1 3 第二列  6 7
//(1,3)*(6,7) = 6 + 21 = 27

//第二个 ? 是第三行第四列 找到 第三行 0 4 第四列  4 3
//(0,4)*(4,3) = 0 + 12 = 12

3. 矩阵的乘积不满足任何交换率，但满足结合律和分配律

   $$ (\mathbf{AB})\mathbf{C} = \mathbf{A}(\mathbf{BC}) $$$$ \mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC} $$$$ (\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC} $$

4. 矩阵与向量相乘，向量是竖着的列向量m×1，这样就有意义了，左边的矩阵只要是 (n,m)就能乘

5. 转置

   (ij -> ji) 对角线为分割线，然后两边值位置互换，对角线下去只有两列，最终结果就是两行

   $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} -> \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$$$ 乘积的转置\\ (\mathbf{AB})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T $$

6. 单位矩阵 他是一个对角阵

   $$ 单位矩阵\\ \mathbf{I}_{3\times3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$$$ AA^{-1} = A^{-1} = I\\\\ 矩阵的逆:\\ (AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $$

7. 点乘向量的矩阵形式

   $$ \begin{pmatrix} x_a & y_a & z_a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b\\ y_b\\ z_b \end{pmatrix}= (x_{a}x_{b} + y_{a}y_{b} + z_{a}z_{b} ) $$

8. 向量的叉积矩阵形式

   $$ 叉积矩阵形式 A^{*}是矩阵\\ a \times b = A^{*}b = \begin{pmatrix} 0 && -z_{a} && y_{a}\\ z_{a} &&0 && -x_{a}\\ -y_{a} && x_{a} && 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{b}\\ y_{b}\\ z_{b} \end{pmatrix} $$

图形学 变换

1. 缩放矩阵 图像大小缩放s倍 xy的s单独设置可以单独缩放

   $$ 左矩阵\\ \begin{pmatrix} s & 0\\ 0 & s \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s & 0\\ 0 & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$

2. 反转(x,y) => (-x,y)

   $$ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} => \begin{pmatrix} -x\\ y \end{pmatrix} $$$$ \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$

3. 切变

   $$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a\\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$

4. 旋转(2维)

   

5. 共性x'=Mx

   要使用相同维度的矩阵乘以向量

   $$ x' = a_x + b_y\\ y' = c_x + d_y $$$$ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} ✖ \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$

其次坐标

平移变换

平移使用矩阵的形式表示，不属于线性变换

线性变换必须表示为 一个向量等于一个矩阵乘以另一个向量

为了不将平移排除在基础变换之外，“懒”的科学家们发明了新的东西，引入了新的形式来表示物体的坐标，为二维的坐标增加一个维度

如果是表示一个点，那么为1，如果为了表示一个向量那么值为0

增加了一个维度后会发现有了更好的性质

引入其次坐标最大的目的就是为了通过增加一个维度的方式，将平移变换也写成矩阵x向量的形式

• 向量表示方向性，向量具有平移不变性，为了保护向量，所以将向量的z设置为0，保证他不变

在齐次坐标中，任何的 x / y / w 作为一个二维的点，表示的点是 x除以w,y除以w , 1

在w不等于0的情况下，可以把xyw都除以w，第三个维度就1了，表示的就是一个点了

xyw表示的一个点就是 x/w, y/w (二维的点)

在上面的公式中

如果把z变为1呢 ，这边的w是2，因为上面算过了

仿射变换

仿射变换就行线性变换和平移变换的组合

如果使用其次坐标表示2维的仿射变换

• 最后一行永远是0，0，1
• 平移永远写在最后一列的头两位数
• abcd是原来线性变换的一部分

线性变换的其次坐标形式

缩放

旋转

平移

因为没有进行线性变换 所以是 10 01

变换的分解

连续变换的应用是从右往左的

逆变换

​ 逆变换就是将变换的操作反过来

一个矩阵乘以他自己的逆矩阵一定等于单位矩阵 做了一遍操作，再做一遍反的操作，就相当于什么都没做

3维变换

与二维基本一致，先应用线性变换再平移